PI

Quan els matemàtics posteriors a Ceulen van veure que feia falta 4 trilions de costats per obtenir tan sols 35 decimals, van estudiar diferents maneres d’aproximar-se a la constant sense utilitzar tants esforços. Destaquem entre aquests, els matemàtics del segle XVII, John Wallis i Brouncker, Leibniz i Gregory, Machin,  i els autors d’entre els segles XVIII a  XX: Euler i Ramanujan. Al segle XX, cal destacar l’aparició dels ordinadors que han permès en les darreres dècades l’augment exponencial de la troballa de decimals de pi.

 

 

 

John Wallis

 

John Wallis (1616-1703) va estudiar fins l’any 1625 a l’escola del seu poble d’on va haver de marxar per salvar-se de la pesta. Fins 1630 va estudiar com va poder a una altra escola i als 13 anys sa mare ja el va veure capacitat per poder entrar a la universitat. És curiós que Wallis no es posés en contacte amb les matemàtiques fins més tard (1631) perquè fins llavors va estudiar Llatí, Grec i Hebreu. Al Nadal de l’any 1631 li va regalar son pare un quadern d’aritmètica gràcies al qual va “enamorar-se” de les matemàtiques. Després de passar per diversos convents i participar a la guerra, va treballar de criptògraf en cap del Parlament anglès, va fer de professor a Cambridge i a Oxford i va poder casar-se i va marxar a viure a Londres.

 

John wallis va crear un producte infinit que a mesura que augmentava de termes s'acostava més a pi. Podeu trobar la informació destacada en el següent fitxer PDF. Fitxer pdf.

 

 

Gottfried Wilhelm Leibniz i James Gregory

 

Aquests matemàtics alemany i escocès respectivament van aconseguir transformar pi en un sumatori infinit.  Tota la informació la trobareu en el següent fitxer pdf ja que conté diverses fórmules.

 

 

John Machin

 

John Machin (1680-1751) va desenvolupar l’any 1706 una de les maneres d’obtenir convergència cap al número pi, a partir d’arc tangents. Amb la fórmula pi/4 = 4·arctan(1/5) - arctan(1/239). Machin va obtenir 100 decimals i va revolucionar el món del càlcul de decimals introduint el concepte de la combinació d’arc tangents millorant la funció també relacionada amb arc tangents de Liebniz.

 

 

Leonard Euler

 

L’any 1706 es produeix un altre canvi molt important en la història del nostre número. Pi queda batejat pel gal·lès William Jones (1675-1749) en la seva obra Synopsis palmariorum matheseos tal com el coneixem avui en dia. Aquest símbol només era utilitzat per alguns autors fins que el 1748 el va utilitzar també  Leonhard Euler al seu llibre “Introductio in anlysin infinitorium” i va gaudir de la màxima popularitat. Euler va ser capaç de calcular pi amb 126 decimals gràcies al seu prestigiós càlcul mental. A més de desenvolupar les seves pròpies fórmules de càlcul, també va crear fórmules per algunes potències de pi. Tota la informació de com va resoldre el problema de Basilea obtenint aixi un sumatori infinit que donava un valor múltiple de pi el trobareu en el següent fitxer pdf.

 

 

Srinivasa Ramanujan

 

Srinivasa Ramanujan (1887-1920) va ser un matemàtic indi que amb un càlcul mental prodigiós va fer contribucions substancials a l'anàlisi matemàtica, la teoria de nombres, les sèries infinites i les fraccions contínues.

 

Tot i morir als 32 anys per culpa de tuberculosi i pèrdua de vitamines, Ramanujan va contribuir en el descobriment de fórmules per obtenir decimals del número pi. Algunes de les seves fórmules són:

 

 

 

 

 que dóna 8 decimals cada vegada que augmentem en una unitat la k

 

 

 

 

que eleva la xifra de 8 a 14 decimals.

 

Malauradament, moltes d’aquestes fórmules no sabem com les va deduir i simplement ens creiem per les proves experimentals que funcionen i molts matemàtics agraeixen encara avui, el gran treball realitzat (més de 120 teoremes que resolien dubtes de matemàtics europeus).

 

 

L'era dels Ordinadors

 

A partir de 1946,  amb l’aparició dels ordinadors –començant per l’ ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer)-, va augmentar ràpidament el càlcul dels decimals de pi com mostra la taula 3.7. Curiosament, molts processos de càlcul es basen en variants de l’algorisme de Machin  (S. XVIII).

 

Any	Autors	Dígits obtinguts
1949	D.F. Ferguson i John W. Wrench	1.120
1949	John W. Wrench jr. i L. B. Smith (ENIAC 70h)	2.037
1958	François Genuys	10.000
1961	Daniel Shanks i John W. Wrench	100.265
1973	Jean Gillout i Martin Bouyer	1.001.250
1983	Yasumasa Kanada i Yasunori Ushiro	10.013.395
1987	Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura i Yoshinobu Kubo	134.214.700
1989	Germans Chudnovsky	1.011.196.691
2002	Yasumasa Kanada i 9 especialistes	1.241.100.000.000
2009	Daisuke Takahashi i informàtics	2.576.980.370.000
2010	Fabrice Bellart	2.699.999.989.951