PI
El peculiar transcendent
Què és Pi?
Definició
Diem que un cercle és una figura plana tal que tots els punts del seu contorn estan a la mateixa distància d’un altre punt anomenat centre. La longitud des del contorn fins a aquest punt s’anomena radi i la distància a través del cercle diàmetre. El contorn del cercle és la circumferència.
La raó entre la longitud de la circumferència i el diàmetre de qualsevol cercle val π (Pi).
Enllaços
Pi és
Irracional
El nombre pi és irracional
En efecte, el nombre pi pertany al conjunt dels nombres irracionals, que són aquells que com les arrels no exactes, no es poden expressar en forma de fracció.
La demostració més senzilla de perquè això és així la va fer Ivan Niven i només necessita coneixements de derivació i integració.
Plantejament: Suposem que pi és racional, definim unes funcions que depenen de la fracció que resulta pi. Després es treballa la funció i es demostra que pi no pot sorgir d’una fracció i per tant queda demostrat per reducció a l’absurd que pi ha de ser irracional.
Demostració: La podeu descarregar en forma de fitxer pdf. A mà dreta hi ha 3 enllaços, 2 webs i un vídeo en anglès que us deixem per entendre més bé el mètode.
Pi és Transcendent
Els nombres algebraics són aquells que poden ser solució d’alguna equació polinòmica amb coeficients racionals. Aquests nombres són molt importants perquè diem que només els nombres algebraics reals són construïbles. Ser construïble significa que es pot generar el nombre amb les regles gregues, és a dir, utilitzant només un regle i un compàs. L’exemple més clar d’això, és un nombre natural: amb un regle puc dibuixar el número 1, el número 2 ...
La gran pregunta de si tots els números són o no construïbles apareix quan els grecs antics es troben per casualitat el nombre arrel de 2. Com bé sabem, arrel de 2 és la solució de l’equació de segon grau x^2-2=0 i per tant, per la definició expressada anteriorment, ha de ser construïble.
Si dibuixem un quadrat d'una unitat de costat, la seva diagonal, mesurarà arrel de 2 unitats. Ja tenim el nombre construit!
Però, davant la incertesa de si tots els nombre irracionals com arrel de 2 es podien dibuixar o no, molts matemàtics van provar de trobar un nombre real no construïble. Quan Gregor Cantor, l’any 1874 va provar que els nombres algebraics eren numerables i els irracionals no, automàticament, (a partir de la premissa que tot número algebraic és irracional) va quedar demostrat que ha d’existir un altre conjunt no numerable dins els irracionals. Aquest conjunt, que es va decidir anomenar el dels nombres transcendents, ja s’intuïa que existia des de l’any 1844 quan Joseph Liouville va descobrir els famosos nombres de Liouville. Tot i això, no es va saber de la seva “infinitat” fins el descobriment de Cantor.
El nombre pi és transcendent
En efecte, el nombre pi pertany al conjunt dels nombres transcendents que són aquells que no poden sortir com a solució d'una equació amb coeficients racionals.
Us deixem un hipervincle on trobareu un fitxer pdf amb la demostració que va fer servir Lindemann a partir d'una demostració que havia fet Charles Hermite uns anys abans tot demostrant que e era irracional.
Quadratura
del cercle
Quadratura del cercle.
Un dels problemes matemàtics més importants de tota la història ha estat la cuadratura del cercle.
Enunciat: Donat un cercle de radi r, construiu amb regle i compàs un quadrat de costat c tal que tingui la mateixa àrea que el cercle.
Ressolució: El problema consisteix bàsicament en aconseguir la mesura d'arrel de pi ja que multiplicada pel radi donat, obtindríem el costat del quadrat (Fer una multiplicació no costa gens en el món del dibuix). Fer una arrel quadrada tampoc no genera massa dificultat així que el problema consisteix en poder dibuixar pi.
L'any 1882 es presentà la impossibilitat de resoldre el problema ja que es demostrà que és un número no construïble (Demostració de la transcendència de pi). Tot i això, encara avui dia hi ha gent que envia documents amb la resolució del problema de la quadratura del cercle; cal saber que aquests documents els analitzen i busquen l’error becaris de la facultat de matemàtiques de la universitat de Paris.
Aplicacions
Aplicacions
El nombre pi, no només és una successió infinita de decimals que podem definir com 3,14159..., el nombre pi és una eina imprescindible en el món de les matemàtiques ja que té moltes aplicacions. Aquí en deixem algunes de les que podreu trobar en aquesta web. Recomanem també l'apartat de curiositats.
-
Càlculs geomètrics relacionats amb circumferències.
-
Càlcul de volums.
-
Fórmules físiques (Moviments Circulars, Moviments ondulatoris...).
-
Probabilitat (2 nombres primers entre si , tirar una agulla sobre una quadrícula...).
-
Fórmules d’anàlisis matemàtic: fórmules d’euler, fórmules contínues, successions...
-
Arcs tangents, funció zeta de Riemann